(& # ． ノルム + , , ' # + , , ' に 2 * . 最大ノルムの値が変わらないのに対し， ノルムと ノルムは に応じて値が大きくなっていきます． これら! 数学解析第1 第2回講義ノート 命題1.7（Cauchy{Schwarzの不等式）jx yj ∥x∥∥y∥ (x;y 2 Rn) 証明x = 0のときは，両辺とも0になるので明らかに成り立つ．そこで，x ̸= 0と仮定す る．このとき，∥x∥ > 0 であることに注意しよう．1 変数関数ϕ(t) をϕ(t) := ∥tx y∥2 に より定める．このとき， 「展開係数の有界性」「有限次元ノルム空間の完備性」「ノルムの同値性」「成分ごとの収束とノ ルム収束の同値性」「演算子ノルム」「ハーン・バナハの定理」である。 14.1 線形変換の有界性と連続性 この節では線形変換の連続性の同値な定義を学ぶ。 は有界である。その作用素ノルムが 1 であることはすぐに分かる。 有界性と連続性が同値であること. 上述のように、二つのノルム空間 x と y の間の線形作用素 l が有界であることと、連続であることは必要十分である。その証明は次のように与えられる。 ノルムと聞いてすぐに「あれだ！」とわかる人は、もう大学数学に慣れた人です。高校数学で「距離」と言っていたものをさらに一般化したものをノルムといいます。なので、ノルムと聞いてひるむことはないのです。 また、ノルムはベクトルとも深い関係があります。 ノルム空間の位相 以下，ノルム空間Xには常にdを距離とする距離空間としての位相を考える． すなわち，点列{xj}⊂Xがx ∈Xに収束するとは lim j→∞ x −xj =0 が成り立つことであり，このとき x = lim j→∞ xj あるいは xj →x (j →∞) などと書く． 8 線形演算の連続性 命題1.2. つのノルムの間には以下の不等式が成り立ちます "． + , , .
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