【フーリエ級数を積分して係数 a0 を求める】 前回はフーリエ級数の数式をちょっと変形した式まで扱いました。必ず変形. である。 よって、この を2で割ることによって、フーリエ級数展開の公式の左辺と右辺が等しくなる。 フーリエ級数展開とは、そのはじめはフーリエがなんとか熱伝導を数式で表せないかということが発端となり、見出されたものです。しかし、現在、フーリエが見つけたものは研究が重ねられ、様々な自然現象、例えば量子力学や株式相場など、その応用は幅が広いのです。 フーリエ級数（フーリエきゅうすう、Fourier series）とは、複雑な周期関数や周期信号を、単純な形の周期性をもつ関数の（無限の）和によって表したものである。 フーリエ級数は、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエによって金属板の中での熱伝導に関する研究の中で導入された。 フーリエ係数の意味 フーリエ級数展開とは、周期 の周期関数 を同じ周期を持った三角関数で展開してやることである。 こんな風に。 は、 がそれぞれの三角関数の成分をどれだけ持っているかを表す。 は の重みを表す。. 2.3. ここで、f(x)が cos(0x)と完全に一致するとき、つまりf(x)=1であるとき. 1. 1.3 フーリエ級数 [フーリエ級数展開とは] 関数f(x)を周期2π の周期関数とする。 関数f(x)のフーリエ級数展開とは, 三角級数 f(x) ’ a0 2 +a1 cosx+b1 sinx+a2 cos2x+b2 sin2x+a3 cos3x+b3 sin3x+¢¢¢ a0 2 + X1 n=1 (an cosnx+bn sinnx) (1.13)によって, 関数f(x)を表現することである。 さて, cosnx,sinnx(n = 1,2,¢¢¢)の基本周期は2π 〜やりたいこと〜与えられた周期 T の関数を，周期 T（の約数もOK）の三角関数（サインとコサイン）の和で表現したいという話です。〜なぜ 2πnxT が登場するのか〜・ g(x)=sin2πnxT の周期は Tn であり，g(x+T)=g(x) を満たします。 h(x)=cos2πnxT も同様です。そこで，これらの「 T ズラしてもとに戻る単純な関数の無限和」で「 T ズラしてもとに戻る関数 f(x) 」を表現します。特に，f(x) の周期が 2π の場合，使う三角関数は sinnx,cosnx とシンプルな形になります。 する必要はないのですが解説がわかり易くなるだろうということで変形した次. フーリエ係数の公式から. 上記のような矩形波は、たとえば次のような関数で表されます。f(t) = \left \{ \begin{array}{1} -1 & (\pi ≦ t < 0) \\ 1 & (0 ≦ t < \pi)\end{array} \right., f(t + 2\pi) = f(t)これをフーリエ級数で表してみましょう。まず、フーリエ級数展開は、 でしたね。これからフーリエ係数を求めるのですが、フーリエ係数を覚えていますか？ フーリエ係数はa_nとb_nのことでしたよね。この例題では区間[-\pi, \pi]ですので、フーリエ係数はそれぞれ次のように導かれます。それでは、まず、三角関数は直交関数系ということから、上記 … 第です。念のために変形前のフーリエ級数と変形後のフーリエ級数の数式. （フーリエ級数自体を理解していない方はこちら） フーリエ変換を理解する上でも，複素フーリエ級数の理解は必須です． しかし，\(\cos\)や\(\sin\)で展開するフーリエ級数が理解できている人はとても簡単な内容だと思います． フーリエ級数展開とは、そのはじめはフーリエがなんとか熱伝導を数式で表せないかということが発端となり、見出されたものです。しかし、現在、フーリエが見つけたものは研究が重ねられ、様々な自然現象、例えば量子力学や株式相場など、その応用は幅が広いのです。 フーリエ級数展開 31 一般には、周期2πを持つ関数f(x)をフーリエ級数展開するには、積分区間を[a,a+2π]にとっ て、フーリエ係数 a n = 1 π Z a+2π a f(x)cosnxdx および b n = 1 π Z a+2π a f(x)sinnxdx を求めればよいことがわかります4。 2.3.1 周期2πを持つ関数のフーリエ級数展開 前述の考察より、周 … フーリエ変換は3ステップで導出されます：(1)三角関数の和で周期関数を近似する『フーリエ級数展開』(2)周期→∞とし非周期関数を近似する『フーリエ積分』(3)その被積分関数を取り出して得られる『フーリエ変換』．これらの精確な定義と計算過程を示します．三角関数の直交性を用います．
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