量子力学で現れるブラケット記法の定義(ケットベクトル・ブラケット・ケットブラの定義)や基本的な性質(ブラケットの対称性・線形性・正定値性・恒等演算子(作用素)・成分表示・ケットブラのトレース・ケットブラのランクなど)を具体例を付けながら解説したページです。 緩和した条件「勾配ベクトルのノルム（長さ）が十分に小さい」 || t Þ|| o Ý Ýは十分小さい正数に置き換える. これは、行列のノルムの中でも作用素ノルムと言うやつです。 supは上限を意味し、定義もありますが、定義を見ても理解しにくいので、 数学的には厳密でなくても、次のように理解した方がわかりやすいと思います。
そ 7.3 点列の収束 ノルム空間の点列の収束を定義したい. 実際, kxk は原点からの距離yを表すのだからkx yk が2 点x;y 間の距離を表す. こ の値が大きければ離れているし, 小さければ近くにあるとイメージできる. ノルムとはいろいろなものの「大きさ」を表す量です。より正確に言うと（実数上のベクトル空間 V に対しては）任意の x,y∈V と任意の実数 a に対して以下の3つの性質を満たす関数のことです。 1. つまり{4²+(-4)²+4²}=43\ で割る.\ 逆向きのベクトルも考慮し,\ で答える. 2.1 ノルムと内積 有限次元空間Kd ではベクトルx ∈ Kd の\長さ"を測る指標のひとつがユークリッド ノルム：|x| = (∑ d i=1 |xi| 2)1/2 である. 以下では勾配ベクトルの大きさ（ユークリッドノルム）を $\|\nabla f\|$ と書きます。 勾配ベクトルの意味 （向きの意味） 勾配ベクトルの向きは，今いる点からちょっと動いたときに関数の値が一番大きくな … ‖x→‖+‖y→‖≥‖x→+y→‖ Lp ノルムは代表的なノルムです。 |x1|p+|x2|p+⋯+|xn|pp が上の3つの性質を満たすことは簡単に確認できます。（3つ目については→ミンコフスキーの不等式とその証明） ‖x→‖=0⟺x→=0 2. 向きを持たない量であるスカラー(scalar)と区別するために，長さと向きを持つ量であるベクトル(vector)は，ボールド体でなどと表記される．ベクトルの始点(initial point)から終点(terminal point)までの線分の長さは，ベクトルの長さ(length)，大きさ(magnitude)，または絶対値(absolute value)といい，，， などで表す．
【基本】ベクトルの内積の性質#同じベクトル同士の内積で見たように、次が成り立ちます。⃗a⋅⃗a=|⃗a|2a→⋅a→=|a→|2これは、自分同士のなす角が 0∘0∘ であることと内積の定義からわかります。この式はこの形でも使われますが、次のような形でもよく使われます。【基本】ベクトルの内積の性質で見た、交換法則や分配法則を使います。|⃗a+⃗b|2=(⃗a+⃗b)⋅(⃗a+⃗b)=⃗a⋅⃗a+2⃗a⋅⃗b+⃗b⋅⃗b=|⃗a|2+2⃗a⋅⃗b+|⃗b|2|a→+b→|2=(a→+b→)⋅(a→+b→)=a→⋅a… 無限次元の線形空間X でも, 一様ノルム(1.1) や Lp-ノルム(1.5) のようにx ∈ X の\長さ" のようなものが定義される場合がある. ‖ax→‖=|a|‖x→‖ 3. ベクトルを用いると図形問題が単なる機械的な計算問題と化す。そのベクトルの意義は演習を積み重ねていくなかでわかってくる。 平面ベクトルは空間ベクトルの基礎である。空間に進む前にしっかりと平面ベクトルの考え方を学習しておくこと。 ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。 ものによっては絶対値や賦値（附値、付値）と呼ばれることもある。また、体の拡大におけるノルムや、多元環に対する被約ノルムと本質的に同じものである。 まず、二次元のベクトルを考えます。それを行列で表すと次のようになります。r = \left(\begin{array}{c}x \\ y \end{array}\right)…………(1) これはわかるでしょう。(1)で二次元平面を表すことができますが、しかし、何かが足りません。それは基底です。e_1 = \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \end{array}\right)…………(2)e_2 = \left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array}\right)…………(3)(1)がxの基底、(2)がyの基底になります。この基底を使って(1) を書き直すと次のようになります。r = xe_1 + ye_2… それには実数で使った絶対値の記号をノルムの記号に置き 換えればよい. 42 第5 章 ベクトルと行列の数学的性質 5.3 ベクトルノルム ベクトルや行列のように，多数の要素のカタマリをそのまま扱うことは難しく，手間のかかることであ る。この「手間」については後述する。ここではこの手間を省くため，実数や複素数における絶対値と同 単位ベクトル(大きさ1のベクトル)にするには,\ 各成分を大きさで割ればよい.
空間の三角形の面積・平行六面体の体積・四面体の体積} 空間の三角形の面積}(平行四辺形{OADB}の面積)=ab}\ の半分が三角形の面積である.