Without loss of generality, we can assume that G is connected and has at least three vertices. 例えば，グラフ中の最も長い道の長さに着目することにより, 図1.6のように列挙すること ができる. 証明の問題がわかりません。・頂点数がnの単純グラフの辺の総数はn(nー1)／2以下である事を示せ。・頂点数が2以上の単純連結グラフには、必ず次数が同じ頂点が存在することを示せ。この、2問がわかりません。わかりやすく解説してくれると嬉しいです。よろしくお願いします。 平面的グラフは、球面などの種数0の曲面に描けるグラフと同値である。 極小な非平面的グラフは、k 3,3 とk 5 。 性質. そこで，頂点数nの平面グラフGを考えます．上述の事実より，このGは次数 が5以下の頂点を含みます．まず手始めに，Gが次数4の頂点v を含むと仮定し ましょう．このときGから，頂点vとvに接続する4本の辺を取り除いたグラフ 平面的グラフの性質 系3 平面的グラフGには, 次数5以下の点が存在する. 平面グラフには 次数が5以下の点が必ず1つは存在します よね。 頂点数が の平面グラフ から、次数が5（以下）の点 を削除したグラフ を考えます。 すると、 の頂点数は1つ減って となりますね。このグラフ が 平面グラフであると仮定 します。（帰納法の仮定） gが平面的グラフならば、|e(g)|≦3|v(g)|-6。ただし、|v(g)|≧3。 gが単純グラフで平面的グラフならば、gは、次数が5以下の頂点を持つ。 グラフ理論2005 担当: 大学院情報科学研究科井上純一 α γβ α δ β δ β γ δ α γ (d) α γ αβ δ γ β γ α β γ β α β β α γ α β α (E) 図143: (D) 正20 面体, 及び, (E) 正12 面体の平面描画とその彩色. 平面的グラフには，必ず次数が5以下の頂点が存在する 岡本吉央(電通大) グラフとネットワーク(13) 2017 年7 月24 日 23 / 42 地図の彩色 六色定理：証明(3) | 補題 補題 平面的グラフには，必ず次数が5以下の頂点が存在する 補題の証明： 5.2 平面グラフ ... グラフGの中の次数 ... 問題1.5 6頂点以下 の木をすべて挙げよ. s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s @ @ s s s s s s @ @ 図1.6: 6頂点からなるすべての木 グラフGの2頂 … • 極大平面的グラフを平面に埋め込んで得られる極大平面グラフは各領域が三角形になるので, 三角形分割ともいう(教科書p.57図4.3).
これは矛盾であるから，どの単純平面的グラフにも次数5以下の点がある。 Proof. 次数と平面性との関係 •定理：すべての単純平面的グラフには、次 数5以下の点がある。 •証明 –平面グラフとして考える。 –もし、すべての点の次数が6以上ならば、6n ≦2mである。（すべての点の次数 … 解答. 連結で単純な平面的グラフであれば、 次数5以下の点 が必ず1つ以上存在する。 証明 頂点数 、辺数 の連結で単純な平面グラフの次数がすべて6以上と仮定する。 証明Gが連結であるとしても一般性は失われない.
If each vertex has at least six, then we have 6n 2m, i.e., 3n m. It follows immediately from … となる. グラフ理論における五色定理（ごしょくていり、英: five color theorem ）とは、領域に分けられた平面、例えばある州を郡に分けた政治地図が与えられたとき、5種類以下の色を使って、隣接する領域が必ず別の色になっているように各領域を塗り分けられるという定理である。 定理2.2 任意の単純平面グラフは、次数が5 以下の頂点を少なくとも1 つは持つ。 証明 頂点の数が6 以下ならば自明なので頂点の数が7 以上の時を考え る。まずは以下の補題を示す。 補題2.3 任意の単純連結平面グラフg において、頂点の数をν(g)、辺 頂点以外の点で辺が交差しないように平面に書けるようなグラフを平面的グラフといいます。（交差しないように実際に書いたものを平面グラフといいます）なお，グラフ理論では平面に「書く」と言わずに「埋め込む」と言うので，以下でも「埋め込む」という言葉を使います。例えば，完全グラフ K4 は左上図のように埋め込むと頂点以外で交差してしまっていますが，工夫すれば右上図のように交差なしで埋め込むことができるので平面的グラフです。同様に，完全二部グラフ K3,2 も左下図ではダメで …