これは可解であることよりも弱い（ α が有限順序数、つまり自然数ならば可解）。 例. 2 つの変換 f, g が G に属するならば合成 も に属する； 2. ⇒ すべての偶置換の集合は群になる. 64 17.3 ここで群が登場する. 剰余類分解 9 (6) H 1H ⊂ H H がG の部分群であるならば H = HH = H 1 = HH 1 = H 1H が成り立っている。 この表記でA = {a} のとき{a}B をaB と書く。Ab も同様である。 すなわち aB = {ab | b ∈ B}; Ab = {ab | a ∈ A} である。 問1.2.2. 例3に挙げた例は、\(Ω\)が4個の元からなる集合の場合です。そこで、この群を4次対称群といい、\(S_4\)で表すことがあります。これを一般化して、\(n\)個の元からなる集合 1.3. 変換群 57 3.2 変換群 定義 10 変換群は, 次の 2 つの性質をみたす変換の集合 G である： 1. 32 次:Cannon-Holt 2008年12月、確認2011年 (Magma のデータ) 32次の個数が多すぎて、 Magma の通常の組込みデータにはできない。 それで、 分類はここで止まっている。 対称群S n ： n≦4 ならば、可解群、 n≧5ならば、非可解群 と述べることができます。 これは，5次以上の一般代数方程式に解の公式が存在しないことを示すための重要な（補助）定理となっています。 X = f1;2; ;dgに対する置換群をd次対称群とよびSd と書く． 3.2. 対称群S n ： n≦4 ならば、可解群、 n≧5ならば、非可解群 と述べることができます。 これは，5次以上の一般代数方程式に解の公式が存在しないことを示すための重要な（補助）定理となっています。 第4 章 有限群の基礎 26 問題4.1.3 対称群Sn の元¾ は巡回置換の積として、 ¾ = (i1 ¢¢¢ir)(j1 ¢¢¢js)¢¢¢(k1 ¢¢¢kt) と表すことができる。ただし、右辺の巡回置換たちは互いに素（共通の文字を含まない）で、r 5 s 5::: 5 t である。
• 偶置換どうしを合成するとやはり偶置換になる. ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 - 置換群の用語解説 - n 個のものの置換 の全体から成る集合 P＝{p} は，乗法を結合法として1つの群をつくる。この P を置換群という。もちろん P においては，結合法則が満たされている。しかし，n≧3 なら可換ではない。 1 対称群 ここでは対称群についての基礎を学ぶ． 1.1 定義 集合Xに対する置換群とはXからXへの全単射（置換）写像の全体であり，写 像の合成により群になるものである． 定義1.1. 1 対称群 ここでは対称群についての基礎を学ぶ． 1.1 定義 集合Xに対する置換群とはXからXへの全単射（置換）写像の全体であり，写 像の合成により群になるものである． 定義1.1. 前節 対称群 に置換の計算が出てきましたが，あまり馴染みがない人のために置換の計算規則を補足します．分かっている人は，この記事は飛ばしてください．内容は 対称群 の説明とも重複します．. 65 17.4 群上の関数たち. 任意の変換 f 2 G に対して, 逆変換 1 は の元である. 67 17.5 舞台は再び球面上へと転廻する. H, K が群G の部分群ならば、H ∩K もG の部分群であることを示せ。 よ … X = f1;2; ;dgに対する置換群をd次対称群とよびSd と書く． 64 17.2 球面という舞台. 正4面体群p(4) 4つの頂点に1，2，3，4 と番号をつけて いくと，正4面体群の元の移動によって頂 点1，2，3，4 が移りあいます。よって，正 4面体群の元は4次対称群s4 の元と対応 させることができます。右の図のように， 頂点4 と中心を通る軸で，120 回転させ )を考えるのか．代数学の1つの目的は(連立)方程式の解を求めることである．実際，線形代数では連立一次方程式の解法を学ぶ(←線形代数=linear algebra=1次式の代数)．線形代数はR やC 上だけでなく，一般の体K 上において理論を展開できる(←体K には四 70 17.7 終幕. 直交群 57 15 対称行列の空間 57 16 調和関数 59 v 付録 63 17 表現論的に見てみよう 64 17.1 開幕. 問題1. であって,3重 可移である次数22のMathieu 群M22と 共に単純群のある無限系列に入らない特 異な存在であったためである. 2重,3重 可移群の分類.特 に,2重, 3重 可移な置換表現をもつ単純群の分類。 問題2. 四次交代群 A 4 の交換子部分群はクラインの四元群である。 対称群 S n の交換子部分群は交代群 A n である。 対称群と交代群 • S. n. の元を (1 2); (2; 3); :::; (n − 1. n) で表すとき, 偶数個で表されるものを偶置換, 奇数個で表され るものを奇置換とよぶ. ここで,我 々は問題を次の三つに分けておこう. 69 17.6 球面調和関数が颯爽と登場する.
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