2．対称群S n [1] n 個の要素からなる集合Mに作用する置換の総数は，n 個の要素の順列並び，n！通りありますが，これらの元全体(置換全体)の集合は，置換を続けて行うことを置換の積として定義すれば，この演算について群をなします。例えば，2つの置換 1 対称群 次節以降で群の抽象的な説明をするに先立ち, 群のひとつの重要な例として対称群と呼ばれる ものを学ぶ. 代数学1(東京理科大学の教育支援システム（LETUS）にて配布しています) 月曜2 限(10:40˘12:10) K601 担当教員: 加塩朋和 研究室: 4号館3階 E-mail : kashio tomokazu@ma.noda.tus.ac.jp 教科書・参考書 5 n 次対称群Sn の偶置換全体の集合An はSn の部分群でその位数は n!=2 であることを示せ. 自然数n を固定する. 1 3.2 S4 の位数12 の部分群 まず最初に、n 3 のとき、Sn の交換子群D(Sn) は、交代群An と一致すること を示す。An は指数2 なので正規部分群であり、Sn=An は巡回群なので、D(Sn) ˆAn である。また、An は3巡回元によって生成されることはよく知られているが、3巡 n次の対称群S n から群{1,-1}への写像fを次のように定義する。 xが偶置換のとき、即ち偶数個の互換の積で表される置換のとき f(x)=1; xが奇置換のとき、即ち奇数個の互換の積で表される置換のとき f(x)=-1 すると、f:S n →{1,-1}は準同型写像になる。 対称群の部分群は一般に置換群と呼ばれる。 正規部分群. G = {1;a;b;c} とし、演算を 1 a b c 1 1 a b c a a 1 c b b b c 1 a c c b a 1 で定める。このときG は群である。(これをクラインの四元群という。) G の部分群をすべて求めよ。 25. 位数n の有限巡回群の部分群をすべて決定せよ。 24. わかり易くす るためf1;2; ;ng とする. このとき また, 奇置換全体の集合がSn の部分群になる か判定し, その理由を述べよ. 6 n次対称群Sn は, 互換(1;2) とn次巡回置換(1;2;:::;n) で生成され ることを示せ. 対称群の正規部分群は有限の場合にはよく知られている。 n = 1, 2, 4 の場合を除き、 n-次交代群は n-次対称群の単位群でない真の正規部分群である。 23. n 個の要素からなる集合をひとつ用意する.
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