となる．よって .
が成り立つ． 証明.
とおく (積分の線形性より) とおく．中間値の定理より . では実際に解いていきましょう。 練習1.
とおくと . もちろんこのブログに出てくる例題や練習問題に出てくる関数も指示がない限り偏微分の順序交換は特に考えなくてもよいです。 偏微分の順序交換が不可能な例はまた別の機会に紹介をしたいと思います。 3．練習問題. 微分と積分の順序交換. 2つの独立変数 \( x \), \( y \) を持つ関数 \( z=f(x, y) \) について, 変数 \( y \) を変化させることなく固定して変数 \( x \) だけについて \( f \) を微分することを, \( f \) の \( x \) に関する偏微分という. 偏微分については→偏微分の意味と高校数学への応用をどうぞ。 fxy は f(x,y) を x で微分してから y で微分したものを表します。1つずつ計算していくのみ： fx=excos(x+y)+exsin(x+y) fxy=−exsin(x+y)+excos(x+y) fy=excos(x+y)+2y fyx=excos(x+y)−exsin(x+y)となり fxy=fyx が成立する。 微分と積分の順序交換. POINT 微積分の順序交換に関する定理の紹介． 応用例としてGauss積分について解説する． 微積分の順序交換に関する定理と，応用例を紹介します． 極限記号$\lim$と，積分$\displaystyle\int$の順序交換（優収束定理）については，次の記事を参照して下さい： 定理 【例】Gauss積分 参考文献 定… 領域 において が連続で， で偏微分可能であるならば， が成り立つ． 証明. 今回は、実際に偏微分の具体的な計算を見てみましょう。例 f(x,y)=x^3+y^2+5xy+x のとき x に関する偏微分は f_x=3x^2+5y+1 y に関する偏微分は f_y=2y+5x である。 また、シュワルツの定理と呼ばれる定理があります。これは、条件さえ満たせば、偏微分の順序を交換することが可能である、という定理です。 F (y) = ∫ a b f (x, y) d x とおく ∂ ∂ y ∫ a b f (x, y) d x = ∂ ∂ y F (y) = lim k → 0 F (y + k) − F (y) k
偏微分 2変数関数の偏微分.
領域 D において f (x, y) が連続で， y で偏微分可能であるならば， ∂ ∂ y ∫ a b f (x, y) d x = ∫ a b ∂ ∂ y f (x, y) d x .
2 偏微分 2.1 一変数関数の微分(復習) 区間I⊂ R 上で定義された一変数関数fとa∈ Iに対して極限値 (2.1) lim h!0 f(a+h)−f(a) h が存在するとき，fはaで微分可能であるといい，極限値(2.1) をfのaにおける微分係数とよんでf0(a) で表す．定義域I上のすべての点でfが微分可能ならば，新しい関数