この関数列の一様収束性は，以下の定理で見ていくように，極限と積分の順序交換，ある いは極限と微分の順序交換を保証するための十分条件にも用いられる． 定理 閉区間 で定義された連続な関数列 が に一様収束すれば次式が成り 立つ． 証明仮定より 以上からEq. となり、極限においては定積分の値が変わってしまいます。 「こんな不自然な例を考えるから…」と思われるかもしれませんが、最初の例で を微分してみると、 となり、極限関数を微分した と一致していません！. 1 の極限でデルタ関数の全ての性質を再現するので、 (x) = lim n!1 r n ˇ exp nx2; n 2 N (17) とすることができる。 3 デルタ関数の可視化 先に証明したデルタ関数Eq.(13),Eq. 極限分野は、 単純な極限計算がほとんどの割合を占める。 しかし、極限は直感とはかけ離れていることも多く、その扱いに戸惑いやすい。また、極限を求めるために今までの常識とは方向性が異なる変形も … 続関数列が一様収束するなら, その極限関数も連続で, 有界閉区間上, その極限関数の積分と元の関数列の 積分の極限が等しくなることも良く知られている. 区間 S 上の関数列 f n が微分可能で関数 f に収束するとき、 f の導関数を関数列 f n の導関数の極限として得たい。ところが、これは一般には不可能である。たとえ収束が一様であったとしても、極限関数は微分可能とは限らない。
定理：極限と積分の順序交換: 定理 (条件1) 関数列{f n (x)}の各項f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x),…がすべて閉区間[a,b]上で連続かつ (条件2) 関数列{f n (x)}が閉区間[a,b]上で極限関数f (x)に一様収束が成り立つ ならば、 ないし、 極限関数f (x)を、 で表して、 [文献]小平『解析入門I』 5章3節a定理5.8(p.223);
数列の和の極限を定積分に直すには，次のような図を考えます． (公式) この公式を使うには，「各部品」を正確に対応させることが大切です．（初めは，大変難しいものです．）
(17) の関数列f’ng がデルタ関数に収束する様子をグラフにしてみる。 3.1 Eq. (13) で表される関数列
(14) の関数はn !