この定理はウィルソンの定理の証明などで使います.
s個の連立合同式x≡a 1 (mod m 1)かつ x≡a 2 (mod m 2)かつ ... x≡a s (mod m s)の解は、これを繰り返すことで、解はx≡q (mod m 1 m 2...m s)という形になります。これを中国式剰余定理と呼びます。 以下では、合同式と合同方程式について実例を使って説明してみましょう。 合同式についてはこちら. 合同式とは，大雑把に言うと割り算の余りのみに注目した等式のことです。例えば，7 と 4 は，どちらも 3 で割った余りが 1 です。これを，合同式では7≡4mod3と書きます。上の合同式は「7合同4モッド3」と読みます。7 と 4 は 3 で割った余りのみに注目すれば同じという意味です。より一般に，a と b を n で割った余りが等しいとき，合同式ではa≡bmodnと書きます。 まず、「割り算」というものから考えていきましょう。すごい初歩的ですが、次の式をご覧ください。7=2×3+1この式の割られる数は 7、割る数は 2 ですね！また、商は 3 で余りは 1 です。 このように、割られる数=割る数×商+余りの構図が常に存在しているのです！ では、ここに注目して、文字 x を含んだ整式についても同じことをしていきたいと思います。 例. x3−x2+x−1 を x−2 で割り算せよ。 これを普通の割り算と同じように考えると、以下のようになります！↓↓↓ また、この計算は組立除法と呼ばれ … 整式同士の割り算では剰余の定理が使えます。 一方、合同式 \[x\equiv 2\pmod{5}\] を満たす\(x\)は、5で割ると2余る数のことです。 そして、中国剰余定理は、このどちらも満たす\(x\)が存在すること、つまり、3で割ると1余り、5で割ると2余る数が存在することを示しています。 剰余の定理は計算を適度にサボりたい人に積極的に使って欲しい定理です。以下、例題で確認していきましょう！ 整式同士の割り算. 実数; 複素数; 数の集合; 数の演算法則; 平方根とルート; 絶対値; 約数と倍数; 剰余と合同式; ユークリッドの互除法; 一次不定方程式
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\begin{align*} f(x) = (x-a)Q(x)+R
中国剰余定理の共通解って連立合同式が3つのときに求まりますか？ 要は｢一般にn1とn2とn3が互いに素なとき,{x≡a1(modn1),x≡a2(modn2),x≡a3(modn3)を満たすxが存在しそのxを上式までで用いた文字で表せる｣は真ですか？
証明 \((\Rightarrow)\) \(f(a)\equiv 0\pmod{m}\) を前提する. 等式の剰余の定理は高校でも学習する範囲に入っていますが, 合同式でも同様の定理がなあり立ちます.