1.3 角運動量演算子の交換関係 ここで，角運動量の成分同士の交換関係を調べておく。一般に，関数 ψ に2つの演算子 と を作用させる場合，作用させる順番を入れ替えても結果が同じになるとは限らない。
これらの交換関係と角運動量j1 とj2 が交換することを使うと角運動量J に対して次の通常 の交換関係が成り立つことが分かる． [Jx;Jy] = iJz [Jy;Jz] = iJx [Jz;Jx] = iJy (5・4) この結果から，一般論より角運動量J のJ2 とJz の同時固有状態が作れる． 昇降演算子の別の応用として、量子力学的な調和振動子がある 。 質量 m 、角振動数 m の1次元調和振動子に対し、そのハミルトニアンは = ^ + ^ で与えられる。ここで ^ は位置演算子、 ^ は運動量演算子であり、次の正準交換関係を満たす。 [^, ^] =昇演算子 a † と降演算子 a を次のように定義する。 また、運動量がエルミット演算子であることからD(a) はユニタリ演算子であり、次の関係が成り 立つ。 D(a) 1 = Dy(a) = D(a) (3.5) 以下の参考の(3.7) 式に示す結果を利用すると、座標xを演算子と考えたとき、これは並進操作 によって次のように変換される。 を微小回転を表すベクトルとすれば， の微小変化は と表される．これを，任意の波動関数 に適用すると， つまり， は微小回転の演算子を表す．ちなみに，3次元ベクトル に関して以下の関係が成り立つ．いずれも がつくる平行六面体の体積になることを意識すれば納得できるはずだ． 角運動量. のように，ハミルトニアンとのポアソン括弧で書 けることがわかる（2行目の等号にハミルトンの 正準運動方程式を用いている）．重要な結果なの で，物理量A が時間t にあらわに依存する場合 も含めた表式を改めて書いておこう． dA dt = ∂A ∂t +{A, H} (3.4)
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