を求める実装を示します。なお注意点として、 逆元を求める mod. では「割り算」も同じようにやっていいでしょうか？ふつう一般の等式の場合は、掛け算と割り算は逆の演算で互いに逆戻りすることが保証されていました。ところが合同式では割り算はそのまま自由に行ってはいけません。 （この時b,mは互いに素である必要がありますが、競技プログラミングでよく使われる(mod 10**9+7)の 10**9+7は素数なので、大丈夫です） 何が嬉しいかというと、分母にとんでもないかけ算がある時に分けてmodを考えられることです。 初等整数論のうち、平方剰余の相互法則の意味を当面の目標としたいと思います。ゆくゆくは、ガウス和、円分体論まで行きたいです。 1．\(p\)で割った余りの集合（剰余類） \( p \) を素数とするとき、\( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \)を整数を\( p\) で割った余りからなる集合とします。 の が素数でなくても、 と が互いに素であればよい; 下の拡張 Euclid の互除法自体は と が互いに素でなくても適用できるが、逆元計算するときの と とは互いに素である必要がある 合同式とは，大雑把に言うと割り算の余りのみに注目した等式のことです。例えば，7 と 4 は，どちらも 3 で割った余りが 1 です。これを，合同式では7≡4mod3と書きます。上の合同式は「7合同4モッド3」と読みます。7 と 4 は 3 で割った余りのみに注目すれば同じという意味です。より一般に，a と b を n で割った余りが等しいとき，合同式ではa≡bmodnと書きます。 pari-gp で初等数論.
まず、合同式(mod)の意味についてまとめます。 いちいち文章で書くのはめんどくさいですので、「modulo(モジュロ)」と呼ばれる剰余演算を用いてこのように表します。読み方はいろいろあって… 1. 7 と 32 は互いに素であるから 7 で割ると、x≡ー13 (mod 32) -----これは、正しい変形です。 合同式で四則(商)は成り立ちませんが、商のときも成り立つときがあると思うのですが、 宜しく、御願い致します。 minamino. 【数A】合同式modと割り算の余り 【数A】十の位と一の位の数の求め方 ax＋by＝1となる整数解1組の求め方（互除法の別解まで）【高校数学A】
No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/07/26 08:22. 下に (mod. ) 定理9.1 (フェルマーの定理) p を素数とし，a をp と互いに素な整数とすると， ap−1 ≡ 1 (mod p) が成り立つ． 証明 a > 0 のときに証明すればよい（どして？）．さらに，ap ≡ a (mod p) が任意の a ∈ N について成り立つことを確かめればよい（これまたどして？
カーマイケルの定理は、a と n が互いに素なとき、 a λ(n) ≡ 1 (mod n) が成り立つという定理である。 λ(n) が n − 1 の約数であるとき、n はカーマイケル数と呼ばれ、自身と互いに素であるような全ての底でフェルマーテストを通過する絶対擬素数となる。 モジュロ4 3. 富山大学理工学研究部（理学） 木村巌. モッド4 2. カーマイケルの定理は、a と n が互いに素なとき、 a λ(n) ≡ 1 (mod n) が成り立つという定理である。 λ(n) が n − 1 の約数であるとき、n はカーマイケル数と呼ばれ、自身と互いに素であるような全ての底でフェルマーテストを通過する絶対擬素数となる。 合同式で足し算と引き算と掛け算は普通の方程式のようにやってよく、割り算は割る数とmodの数の互いに素が必要と聞いたのですが、割り算はやってないです。 上記の変形はどこに誤りがあるのでしょうか。 教えて下さい。 よろしくお願いします。 法を4として～などがありますが、ようは自分で理解できていれば十分です。 つまりこの式は、割り算した結果の「商を無視して余りのみに注目している」ことがわかりますね。 余りのみに注目することで、整数に関する面白い問題がたくさん作れるので、今日は5問マスターできるよ …
方程式 ax ≡ 1 (mod p) が整数解 x を持つための必要十分条件は gcd(a,p)=1, つまり a, p が互いに素であること ということが分かりました．整数 x が方程式 (1)の解の時， x を p で割った余り r, 0 ≦ r ＜ p も方程式 (1)の解です． iwao@sci.u-toyama.ac.jp. この文書では， pari-gp を用いて，初等数論（整数の剰余から、素体の平方剰余まで）の計算を具体的に行う．証明や詳しい解説については，例えば，小野孝「数論序説」，裳華房，を見よ． 1 第9章 フェルマー・オイラーの定理 9.1 フェルマーの定理 本章の目的は，整数のベキ乗数anの法mにおけるふるまいを考察することである．素 数を法とする次の定理が基本的である． 定理9.1 (フェルマーの定理) pを素数とし，aをpと互いに素な整数とすると， ap 1 ≡ 1 (mod p) 6.2. 整数 3 の法 11 に関するモジュラ逆数 x を求める。 これは − ≡ を満たすものを計算するということだが、その意味は ≡ なる x を求めることに他ならない。Z/11Z においてこの合同式の解 x が 4 mod 11 であることは = ≡ ()から明らかであり、従って 11 を法として 3 の逆数は 4 である。
剰余類 3 6.2 剰余類 前の節のはじめでも述べたように，合同式においてはm を法として合同な数を“等し い” とみなして計算する．法m で合同な整数は，m で割った余りが等しい整数である． それらをひとまとめにした整数の集合を剰余類という．正確な定義は以下のとおり． 53 ≡ 53 = 125 ≡ 7 (mod 59) となる． 2012 年度「代数入門」講義資料（2012 年11 月）ver.1116. の が素数でなくても、 と が互いに素であればよい; 下の拡張 Euclid の互除法自体は と が互いに素でなくても適用できるが、逆元計算するときの と とは互いに素である必要がある
下に (mod. ) 4x≡1≡-6≡-13 (mod 7) などとなります。 合同式はいつでも割れるわけではないですが、mod と互いに素な数は割り算できます。 7と4は互いに素なので、4x≡8 (mod 7) の両辺を4で割って、x≡2 (mod 7) と計 …