フーリエ級数・フーリエ変換メモ 峯松信明 2013 年6 月4 日 1 フーリエ級数 1.1 はじめに 周期的な波形f(t) が与えられた時，それを，sin，cos の奇麗な波形に分解することを，フーリ エ級数に展開する，と言う。これをもう少し詳細に見て行こう。 応用数学 III：(9)フーリエ変換の性質 5 フーリエ変換の主な性質： 対称性 •フーリエ変換には波形と周波数の間に以下のような関係が あります。 ならば •この関係のことを対称性といいます。 •簡単に証明してみましょう。 xt ()!X" Xt ()!2"x# () フーリエ変換演習 本ページの資料は私 (金丸) が 2007年度～2011 年度に工学院大学にて行った講議「数学演習III」のうち、フーリエ変換に関する内容の配布資料を公開したものです。 この講義は私が執筆した「Excel / OpenOffice で学ぶフーリエ変換入門」を教科書として行ないました。 書籍ではExcel 60 3. 数学においてフーリエ変換（フーリエへんかん、英: Fourier transform; FT ）は、実 変数の複素または実数値関数を別の同種の関数に写す変換である。 変換後の関数はもとの関数に含まれる周波数を記述し、しばしばもとの関数の周波数領域表現 (frequency domain representation) と呼ばれる。 ここまでの「収束定理」 の流れ全体を通して，フーリエ級数が収束すること， そして三角関数が完全直交系を張ることを確認してきました。 1 パーセバルの等式. やらない夫 フーリエ変換の性質の3つめだ．パーセバルの等式とかパーセバルの関係とか呼ばれるものを紹介しよう． 離散フーリエ変換 = N −1 m=0 x˜(m) 1 N N −1 k=0 ej2π(n−m)k/N) =˜x(n)(3.9) 上式で[]の中はm = n のとき1 となり，m = n のとき0 となる。 従って， m = nに対する項のみが残り，˜x(n)となる。 3.1.2 離散フーリエ変換のまとめ 以上の離散フーリエ変換を以下にまとめる。 短時間フーリエ変換： ( ,) 2 2 1 パワースペクトラム：E t f X m ei フーリエ変換は時間に関する信号を周波数に関する信号へ変換する手法で、時間に関 する情報を失ってしまう。時間と周波数の両方の情報を持つために短時間フーリエ変 換が提案されている。 フーリエ変換は3ステップで導出されます：(1)三角関数の和で周期関数を近似する『フーリエ級数展開』(2)周期→∞とし非周期関数を近似する『フーリエ積分』(3)その被積分関数を取り出して得られる『フーリエ変換』．これらの精確な定義と計算過程を示します．三角関数の直交性を用います． 9.フーリエ変換の性質(3): パーセバルの等式 ― 正規直交展開としてのフーリエ変換 9. フーリエ変換演習 本ページの資料は私 (金丸) が 2007年度～2011 年度に工学院大学にて行った講議「数学演習iii」のうち、フーリエ変換に関する内容の配布資料を公開したものです。 フーリエ変換は3ステップで導出されます：(1)三角関数の和で周期関数を近似する『フーリエ級数展開』(2)周期→∞とし非周期関数を近似する『フーリエ積分』(3)その被積分関数を取り出して得られる『フーリエ変換』．これらの精確な定義と計算過程を示します．三角関数の直交性を用います． フーリエ変換とフーリエ逆変換の面白い性質の証明をしています。フーリエ変換の応用をするときに今回取り上げている性質はよく用いられるものです。その興味深い性質の証明を楽しんでください。 お問い合わせ. フーリエ変換ではなくてフーリエ(級数)展開を利用します。証明の方針として(思い当たるのが)2つあるので両方書きます。また、方針のみ示すので細かい積分などの計算は自分でやってください。 （やり … ここまでの「収束定理」の流れ全体を通して，フーリエ級数が収束すること，そして三角関数が完全直交系を張ることを確認してきました。しかし，三角基底で様々な関数を表せるのは分かっていますが，その係数，すなわちフーリエ係数は最適な値を計算できているのでしょうか。。。上のフーリエ係数の公式は，フーリエ係数のところで導出しました。これをどうやって導出していたかというと，「3次元ベクトルは基底と内積をとればその成分が出るから，関数もきっと同じノリでいけるはず・・・」 … フーリエ変換と離散時間フーリエ変換の関係 （重要！） ただし、 サンプリング角周波数 とすると 離散時間信号 の離散時間フーリエスペクトルを アナログ信号 のフーリエスペクトルを 2 : (3.12) 1, T X k T X X x nT x t X s k D A s D A •(3.12)右辺→ アナログ信号のフーリエスペクトル XA( ) が s フーリエ変換とフーリエ逆変換の面白い性質の証明をしています。フーリエ変換の応用をするときに今回取り上げている性質はよく用いられるものです。その興味深い性質の証明を楽しんでください。 トップページ > フーリエ変換入門（fft入門） > 収束定理（11） .
フーリエ変換にとって自然なノルムは自乗平均誤差である。 定義 2.2 (ノルム) 本節では ... 完全性があればパーセバルの等式も証明することができる。 ベッセルの不等式，パーセバルの等式 フーリエ係数は最適値なのか. 周期$$L(>0)$$の周期関数$$f(t)$$のフーリエ級数の第n部分和は、$$\begin{align*}S_n(t) = \sum_{k =1}^{n}c_k\mathrm{e}^{ik\omega t} && \left(\omega = \frac{2\pi}{L},\,\,\,c_k = \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-ik\omega t}\diff t\right)\end{align*}$$と表されます。このとき関数$$f(t)$$は$$\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\begin{array}{|}f(t)\end{array}^2\diff t < \infty$$であるとします(これを$$f(t)$$は$$\left[-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}\right]$$で2乗可積分であるといいます)。こ …
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