初等代数学における二項定理（にこうていり、英: binomial theorem）または二項展開 (binomial expansion) は二項式の冪の代数的な展開を記述するものである。定理によれば、冪 (x + y) は a x y の形の項の和に展開できる。ただし、冪指数 b, c は b + c = n を満たす非負整数で、各項の係数 a は n と b に依存して決まる特定の正整数である。例えば
二項定理を二項より多くの項の和の冪に対して一般化することができる。すなわち (+ + ⋯ +) = ∑ + + ⋯ + = (,, …,) ⋯が成り立つ。ここで和は、非負整数列 k 1, …, k m でそれらの総和が n に等しいようなもの全体に亙って取る（つまり上記の展開の右辺の式は各項が全次数 n の斉次多項式である）。 二項係数を含む和$$\sum_{k=0}^{[\frac n2]}{}_{n}C_{2k}={}_{n}C_0+{}_{n}C_2+\cdots +{}_{n}C_{2[\frac n2]}$$を考えます.
二項定理とは何か？一見難解な二項定理について公式から証明問題まで東大生がわかりやすく解説します！1.基本の解き方 2.多項定理を使った係数決定問題 3.証明問題と例題使った実戦的な解説で二項定理の理解をサポートします！ これは、 $\lim_{n\to\infty} \dfrac{n^2}{2^n}$ や $\lim_{n\to\infty} \dfrac{n^3}{2^n}$ の場合も、同じように $0$ に収束することがわかります。 二項定理で、分子より速く大きくなるようなところまで抜き出せば、分母の方がはやく無限大に行くことがわかります。 二項定理は，「(a+b)n を展開したときの各項の係数は，nCk になる」という定理です。例えば，二項定理で n=3 の場合を書き下してみると，(a+b)3=3∑k=03Ckakb3−k=3C0a3+3C1a2b+3C2ab2+3C3b3 となります。
二項定理はアルファベットや変な記号がたくさん出てきてよくわかんない！ というあなた。 確かに二項定理はぱっと見だと寄り付きにくいですが、それは公式を文字だけで覚えようとしているから。「意味」を考えれば、当たり前の式として理解し、覚えることができます。 前の章で二項定理の成り立ちと考え方について解説しました。では本当に身についた技術になっているのか、以下の練習問題をやってみましょう！ 解答の前にヒントを出しますので、5分ぐらいやってみてわからないときはぜひ活用してください＾＾↓↓↓【ヒント】(1)…これは二項定理を証明するときに考えたことそのものでしたね！(2)…「展開する」というのは、「すべての項の係数を考える」と言い換えることもできます。(3)…この問題はやり方は2通りあります！ x11x11 になる組み合わせをがんばって … 二項定理はアルファベットや変な記号がたくさん出てきてよくわかんない！ というあなた。 確かに二項定理はぱっと見だと寄り付きにくいですが、それは公式を文字だけで覚えようとしているから。「意味」を考えれば、当たり前の式として理解し、覚えることができます。
二項定理は非常に汎用性が高く実に様々な分野で応用されます．数学の別の定理を証明するために使われたり，数学の問題を解くために利用することもできます． 剰余.
累乗数のあまりを求める問題に応用できる場合があります．
これが二項定理です。 二項定理は\( (a+b)^5, \ (a+b)^{10} \)のような、2項の累乗の式「\( (a+b)^n \)」の展開をするとき（各項の係数を求めるとき）に威力を発揮します。. 二項定理の応用.
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