本稿では、 \\begin{eqnarray} x &=& r \\cos \\theta \\\\ y &=& r \\sin \\theta \\tag{1} \\end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \\theta)$の偏微分について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 極座標系による直交座標系の偏微分 極座標系による偏微分を直交座標系による偏微分で表す 直交座標系による極座標 … 極座標系; の2種類があります。 ただし、ここでは直交座標系で考えていくことにします。 2次元直交座標系では\(x\)軸と\(y\)軸が互いに直交して交わり、3次元直交座標系では\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸が互いに直交して交わります。
別ページを参照してください。 速度分布式への応用. 3次元の極座標系(球座標系)のラプラシアンは、2次元極座標(円座標)のものを用いて求めることができます。 直交座標系$(x,y,z)$と 極座標 系$(r, \theta, \phi)$の関係を再掲します。
デカルト座標 (x, y, z) の基底をそれぞれ e x, e z, e z とし，3 次元極座標 (r, θ, φ) の基底をそれぞれ e r, e θ, e φ とすると，が成り立つ ** ． デカルト座標系の基底は位置によらないが，極座標系の基底は位置によって向きが異なる．したがって，運動する質点の位置ベクトルを
xyzの1階偏微分を極座標の偏微分に変換する計算をおこなった。チェーンルールとうまい変形により計算量を減らしながら導出していく。一度は自力でやっておきたい問題ではある。
本稿では、 \\begin{eqnarray} x &=& r \\cos \\theta \\\\ y &=& r \\sin \\theta \\tag{1} \\end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \\theta)$の偏微分について述べます。 極座標 - 数式で独楽する 極座標系による直交座標系の偏微分 極座標系による偏微分を直交座標系による偏微分で表す 直交座標系による極座標 …
別ページを参照してください。 速度分布式への応用. 大学数学で偏微分を勉強すると、ラプラシアンの極座標変換を行え。といった問題が出題されることがあると思います。この手の問題は数検1級にも出題されていました。 偏微分演算子の座標変換は、最初少し戸惑いますが、慣れてしまえばかなり簡単な問題なように感じます。 教科書 で扱う 1次元速度分布 → 3次元速度分布の変換では、上記の体積素片のことを考える必要があります。 ここでは速度空間全体の …
極座標系での微分.
教科書 で扱う 1次元速度分布 → 3次元速度分布の変換では、上記の体積素片のことを考える必要があります。 ここでは速度空間全体の … 極座標系(3次元の球座標系) ... $ の $\theta$ による偏微分そのものである。 すなわち、 である。 よって、 と表される。 このように $\theta$ 方向の単位ベクトルは、 位置ベクトル $\mathbf{r}$ の $\theta$ による偏微分を規格化したものに等しい。 2次元の直交座標と極座標 今日はまず、直交座標・極座標と偏微分の関係から。 2次元の位置を表現するのによく使われるのは直交座標（デカルト座標）で、${x},{y}$の二つを使って位置を表現する。 が得られる。これが求めるべき式、三次元極座標におけるラプラシアンである。 なお、もう少し洒落た書き方もある。すなわち、 とする。内容は上と変らない。 ∂∂x=∂r∂x∂∂r+∂θ∂x∂∂θ+∂φ∂x∂∂φが成り立ちます。 各項を地道に計算していきましょう。 まずは動径 r を x で微分： ∂r∂x=∂∂x√x2+y2+z2=2x2√x2+y2+z2=xr=sinθcosφ次は θ の x 微分。 tan−1x の微分公式 (tan−1x)′=11+x2より ∂θ∂x=11+x2+y2z2⋅1z⋅x√x2+y2=zx2+y2+z2⋅x√x2+y2=rcosθr2⋅rsinθcosφrsinθ=cosθcosφrφ の x 微分は θ の場合と同様に計算できて ∂φ∂x=11+y2x2⋅(−yx2)=−yx2+y2=−rsinθsinφr2sin2θ=−sinφrsinθよって ∂∂x… 極座標系での微分.