半正定値対称行列という重要な行列について解説。4つの同値な定義（性質）とその証明。証明には線形代数の重要なテクニックがいくつも登場するのでよい練習になります。 証明 ; 行に対するその他の性質 . 量子力学で現れるブラケット記法の定義(ケットベクトル・ブラケット・ケットブラの定義)や基本的な性質(ブラケットの対称性・線形性・正定値性・恒等演算子(作用素)・成分表示・ケットブラのトレース・ケットブラのランクなど)を具体例を付けながら解説したページです。
線形性，（あるいは線型性とも書きます）は大雑把に言うと 直線っぽい ということを表しています。 なぜ直線っぽい性質なのかは以下の例でなんとなく感じ取ってください。 線形代数を学ぶ上で逆行列を学習する意味が分からない？今回は，逆行列の性質とそこから読み取れる逆行列の意味を逆行列を考える上で重要な『単位行列』を踏まえながら解説しています。また，逆行列の求め方も同時に解説してい 行列式は求められればいいやと思っていませんか？今回は，そんな行列式の性質を5つまとめて解説しています。記事内容は，『行列式の和』『行列式のスカラー倍』『2つの行を入れ替えた行列式』『値が0となる行列式』『上三角行列の行列式』 ②の証明 (i)双線形性 行列の積が線形性（分配法則）を満たすから (ii)交代性 正定値行列は前提として対称行列であるから (iii)正値性 正定値行列の定義そのもの 平方根の存在 半正定値行列 を直交対角化して とおく ここで このページでは、随伴行列の定義と大切な性質(反線形性、積、トレース、逆行列、固有値、行列式、複素内積との関係)や公式と例を紹介しています。それぞれの項目には証明が置かれています。よろしければご覧ください。 転置行列のよく用いられる性質 (線形性・積・逆行列・固有値・行列式・トレース・ランク・内積と転置の関係など)と公式・例をリスト形式でまとめました。各項目には分かりやすい証明が置かれています。よろしければご覧ください。 は じめ に 近年,多 くの制御系設計仕様(あ るいは,そ の上 界値)や ロバスト安定条件が線形行列不等式:LMI (Linear Matrix Inequality)条 件として書き表わせる この記事では主に制約なし問題の最適解を求める方法を考える。非線形問題の解は局所的最適解と大域的最適解に分類される。凸計画問題では両社は一致する。局所的最適解であるための条件として、勾配ベクトルとヘッセ行列の定義と性質について論じる。 線形性とは. 同じ値を持つ行が複数存在すると行列式はゼロ ; ゼロ行を含む行列式はゼロ ; ある行の定数倍を別の行に加えても行列式の値は変化しない ; 次数の低下（行方向） 証明 ; 系
線形行列不等式(LMI)表 現とRiccati不 等式 はら しん じ 原 辰 次＊ 1. ある行列 A を階段化した形は一意に決定される (定理2.11) † 一般に、ある行列を階段化する手順は複数あるものの、 最終的な階段行列の形は手順によらず同じ形になる。 この定理は重要であるが、証明は時間の都合で割愛する。 (3) 1次変換（線形変換）は，次のように行列を用いて表すことができる． ･･･② 右辺の行列の積において，(1, 1)成分が になり，(2, 1)成分が になるから，それらが行列として左辺に等しいということから，対応する成分が等しいという連立方程式①と同値になる． 7 まえがき 2017 年度及び2018 年度に埼玉大学理学部数学科の学生向けに線形代数学を講義する際 に用意したノートが本稿の基になっている．線形代数学を初学者に説明する目的で用意し たものだが，初学者向けに基礎事項をコンパクトに纏めた教科書を企図したものでない． 証明 ; 行に対する交代性 . 確率変数ⅩとYの和の期待値(平均)について，「Ⅹ＋Yの平均」＝「Ⅹの平均」＋「Yの平均」が成り立ちます．また，定数aに対して「aⅩの平均」＝「Ⅹの平均のa倍」が成り立ちます．これらの性質を合わせた等式（期待値の線形性）を証明します．和の期待値の証明は，ここに含まれます． 行列トレースの定義・基本的な性質(線形性・循環性・固有値の和・正規直交基底による表現など)や例や公式をリスト形式でまとめました。証明も与えられているので、よろしければご覧ください。 この，「行列を使って線形写像を表現できる」という点に，行列を使う利点が凝縮されています．線形写像という扱いにくいものを，行列の和や積を使ってあたかも数のように扱うことができます．
行に対する多重線形性 . 内積の定義 (対称性・線形性・正定値性)と性質 (コサインとの関係) を幾つかの例(標準内積(ドット積)・行列の内積)を挙げながら、実ベクトル空間と複素ベクトル空間の両方の場合について丁寧に説明したページです。よろしければご覧ください。